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積 (圏論) : ウィキペディア日本語版
積 (圏論)[せき]
圏論において、圏の2つ(あるいはもっと)の対象の (product) は集合のカルテジアン積群の直積環の直積位相空間の積といった数学の他の分野における構成の背後にある本質を捉えるために考えられた概念である。本質的に対象の族の積は与えられた対象のそれぞれへのをもつ「最も一般的な」対象である。
== 定義 ==
\mathcal C を対象 X_1X_2 をもった圏とする。対象 XX_1X_2 の積であるとは、このとき X_1 \times X_2 と表記されるが、それが以下の普遍性を満たすということである:
: 射 \pi_1 : X \to X_1, \pi_2 : X \to X_2 が存在して、すべての対象 Y と射 f_1 : Y \to X_1, f_2 : Y \to X_2 の対に対して、一意的な射 f : Y \to X が存在して、次の図式が交換する
一意的な射 f f_1f_2 の積 (product of morphisms) と呼ばれ、\langle f_1, f_2 \rangle と表記される。射 \pi_1\pi_2自然な射影 (:en:Projection (mathematics)」は、:ja:射影 とリンク -->" TITLE="canonical projection">canonical projection) あるいは射影射 (projection morphism) と呼ばれる。
上で二項の積 (binary product) を定義した。2 つの対象の代わりに集合 I で添え字づけられた対象の任意のを取ることができる。すると (product) の定義を得る。
対象 X が対象の族 \_i の積であることと次は同値である。射 \pi_i : X \to X_i が存在して、すべての対象 YI で添え字づけられた射 f_i : Y \to X_i の族に対し、一意的な射 f : Y \to X が存在して、次の図式がすべての i \in I に対して交換する:
積は \prod_ X_i と表記される。I = \ であれば、X_1 \times \cdots \times X_n と表記され、射の積は \langle f_1, \ldots, f_n \rangle と表記される。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「積 (圏論)」の詳細全文を読む



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